Для наглядности рассмотрим простой пример, взятый из монографии Е.М. Четыркина . Портфель должен состоять из двух видов ценных бумаг, статистические характеристики которых даны в табл.3.1. Kоэффициент корреляции между активами равен нулю. Параметры m и x0 найдены по таблицам распределения Вейбулла-Гнеденко.
Таблица 3.1.
Статистические характеристики ценных бумаг
Вид бумаги Средняя доходность
Стандартное отклонение
s х Коэффициент вариации
Vx Параметр формы
m Параметр масштаба
х0
1 2 0,8 0,40 2,70 2,25
2 3 1,1 0,37 2,94 3,36
Задаемся рядом значений требуемой доходности портфеля в диапазоне возможных значений, например: 1; 1.5; 2.0; 2.5; 3.0; 3.5. Далее по формуле (12) определяем соответствующие вероятности их получения для обеих бумаг pх1 и pх2. Pезультаты сведены в табл.3.2.; здесь же даны вероятности противоположных событий qx1 и qx2, то есть риск неполучения заданного дохода.
Таблица 3.2.
Результаты расчетов
хЗ pх1 pх2 qx1 qx2
1.0 0.89 0.97 0,11 0,03
1.5 0,71 0,91 0,29 0,09
2.0 0,48 0,80 0,52 0,20
2.5 0,26 0,66 0,74 0,34
3.0 0,11 0,49 0,89 0,51
3.5 0,04 0,32 0,96 0,68
Bероятности pх1 и pх2 означают, что, например, при заданной доходности хз=2, эту доходность могут обеспечить акции первого вида в 48 случаях из 100, а акции второго вида в 80 случаях из 100. Отсюда следует, что при заданной доходности удельные веса каждого вида актива должны быть пропорциональны этим значениям, то есть их надо пронормировать в долях единицы:
Используя полученные значения, можно определить статистические характеристики данного портфеля.
Cредний доход:
Cтандартное отклонение:
Коэффициент вариации:
Pезультаты расчета статистических характеристик для шести вариантов портфелей даны в табл.3.3.
Таблица 3.
Результаты расчета статистических характеристик
Xз a 1 a 2 s S VS рS qS
1.0 0,48 0,52 2,52 0,69 0,27 0,99 0,01
1.5 0,44 0,56 2,56 0,71 0,28 0,93 0,07
2.0 0,37 0,63 2,63 0,75 0,28 0,80 0,20
2.5 0,28 0,72 2,72 0,82 0,30 0,60 0,40
3.0 0,18 0,82 2,82 0,91 0,32 0,43 0,57
3.5 0,12 0,88 2,88 0,97 0,34 0,26 0,74
Bидно, что для любого варианта коэффициент вариации доходности портфеля VS меньше минимального из его структурных составляющих Vx1 и Vx2 (табл.1.).
Задача оценки весовых коэффициентов легко решается с помощью табулированной функции нормального распределения, поскольку коэффициент вариации доходности активов не намного превышает допустимые границы. При этом риск определяется по формуле:
причем F0(-u)=1-F0(u) (14),
где F0(u) – табличная функция нормального распределения.
Вероятность противоположного события, то есть получения дохода равного или большего х3, определяется из уравнения:
Hапример, если требуемая доходность х3=2.5, то вероятность получения этой величины дохода составляет:
для первого актива:
для второго актива:
Pасчет весовых коэффициентов выполняется на основе условия нормировки
0.2660+0.6754=0.9414.
Отсюда следует:
Tаким образом, мы получили те же результаты, что и при использовании другого типа распределения доходности и те же, что в примере Е.М. Четыркина, но не заданные, а рассчитанные по предлагаемой методике. На основе таблиц функции нормального закона рассчитаны показатели риска рS и qS для портфеля в целом по расчетным характеристикам и . Оценки этих показателей можно получить в виде средней арифметической рS а и средней геометрической рS г с весами, равными доле каждого актива в наборе инвестиций:
(16)
(17)
где рi – вероятность превышения заданной доходности по i-му активу;
– доля i-го актива в портфеле.
Поскольку взвешенное среднее арифметическое является нижней границей для среднего арифметического с теми же весами:
(18)
то оценка вероятности по формуле для рS а всегда несколько меньше рS г за исключением случая, когда все qi равны между собой и тогда рS а = рS г. Следует, кстати, отметить, что это важное свойство является основой геометрического программирования в теории оптимизации.
Полученные результаты (табл.3.3) в принципе позволяют лицу, принимающему решение, выбрать приемлемый вариант с учетом увеличения риска при росте доходности портфеля. В качестве количественного критерия для выбора оптимального варианта можно использовать любой из известных критериев принятия решения в условиях риска: ожидаемого значения, наиболее вероятного (модального) значения, предельного уровня, ожидаемого значения с учетом его вариации .
Tаким образом, для расчета характеристик доходности портфеля необходима информация о законах распределения доходности составляющих его активов. Как правило, более или менее достоверно определены лишь числовые характеристики, а законы распределения доходности остаются неизвестными. При этом возникает ситуация неопределенности, в которой возможны две альтернативы. В первом случае экспертным путем принимаются априорные распределения для каждого актива, как предлагается в данной статье. Во втором случае статистические характеристики портфеля определяются на основе принципа получения гарантированного результата, то есть рассчитываются гарантированные оценки доходности портфеля при наихудших возможных законах распределения доходности составляющих активов. Для расчета гарантированной оценки вероятности получения заданной доходности, когда вид закона распределения рх произволен, а известны лишь средние значения и дисперсия доходности s х2, можно использовать формулу, полученную Ю.Б. Гермейером [7]:
(25)
Поскольку эта формула справедлива при возможных наихудших условиях, то есть для случая крайнего пессимизма, ее можно использовать для исключения заведомо неприемлемых вариантов портфеля. K ним относятся все альтернативы, для которых заданная доходность больше средней доходности портфеля, то есть два последних варианта, так как для них гарантированная вероятность равна нулю.
Похожие рефераты:
|
Дипломные работы 
